Logika Matematika

LOGIKA MATEMATIKA

 

Kompetensi Dasar     :

Menggunakan operasi dan sifat-sifat serta manipulasi aljabar dalam pemecaham masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, logaritma, persamaan kuadrat, fungsi kuadrat, sistem persamaan linear – kuadrat, pertidaksamaan, logika matematika.

Indikator                    :

  1. Menentukan nilai kebenaran.
  2. Menentukan ingkaran dari suatu pernyataan.
  3. Menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk beserta ingkarannya.
  4. Menarik kesimpulan.

 

  1. A.    Pernyataan, Kalimat Terbuka, Negasi.     

Ilmu matematika yang mempelajari tentang pola pikir yang logis(masuk akal) dan tepat adalah Logika Matematika. Penyampaian pemikiran atau gagasan melalui kalimat, dalam  logika matematika kalimat yang dimaksud adalah pernyataan dan kalimat terbuka.

 

  1. Pernyataan.

Suatu kalimat yang dapat ditentukan nilai benar atau salahnya dan tidak sekaligus benar dan salah disebut pernyataan. Pernyataan juga disebut Kalimat Deklaratif.

Perhatikan contoh-contoh berikut, manakah yang merupakan pernyataan:

  1. Matahari terbit di sebelah timur.
  2. Semarangberada di Jawa Tengah.
  3. 3 adalah bilangan genap.
  4. Terdapat 31 hari pada bulan September.
  5. Gadis di depanku cantik sekali.
  6. x + 3 = 7.

Dari contoh diatas yang merupakan pernyataan adalah kalimat a,b,c,d sedangkan kalimat e dan f bukan pernyataan karena tidak bisa ditentukan nilai kebenarannya.

Setiap pernyataan memiliki nilai kebenaran. Pernyataan yang benar nilai kebenarannya B. Pernyataan yang salah nilai kebenarannya S.

Cara menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan ada 2 cara, yaitu :

  1. Cara Empiris : nilai kebenaran berdasarkan fakta / kenyataan pada waktu dan tempat tertentu.

Contoh : Jakarta adalah ibukota Republik Indonesia.

  1. Cara Non Empiris : nilai kebenaran mutlak.

Contoh : Air laut asin rasanya.

 

  1. Kalimat Terbuka.

Kalimat yang memuat variable sehingga belum dapat ditentukan nilai benar atau salah disebut Kalimat Terbuka. Apabila peubah/variable diganti sesuatu maka kalimat tersebut bernilai B atau S.

Perhatikan contoh berikut :

  1. 3x + 4 = 7, x  B
  2. x2 – 8x + 15 = 0, x  R
  3. Log x = 5.
  4. p adalah bilangan prima kurang dari 10.

Dari contoh diatas apabila variable x dan p diganti kalimat terbuka tersebut menjadi pernyataan. Pengganti variable x dan p yang menjadikan pernyataan bernilai benar disebut penyelesaian.

 

  1. Ingkaran atau Negasi.

Ingkaran suatu pernyataan adalah suatu pernyataan baru yang disusun dari pernyataan semula sehingga nilai kebenarannya berlawanan dengan nilai kebenaran pernyataan semula.

Jika p adalah suatu pernyataan yang bernilai benar maka ingkarannya bernilai salah. Iingkaran dari pernyataan p ditulis (-p) dibaca ingkaran p atau negasi p atau bukan/tidak p.

Cara menentukan ingkaran dari suatu pernyataan adalah dengan menambahkan kata :

-          tidak benar bahwa.

-          tidak

-          bukan

Perhatikan contoh berikut :

1.   p : 17 adalah bilangan prima. (B)

-p : 17 adalah bukan bilangan prima. (S)

2.  p : 6 + 5 = 11. (B)

-p : 6 + 5 ≠ 11. (S)

3.  p : Ada bulan yang jumlah harinya 31 hari. (B)

-p :Tidak benar bahwa ada bulan yang jumlah harinya 31 hari.        (S)

4.  p : Sapi adalah binatang pemakan daging. (S)

-p : Sapi adalah bukan binatang pemakan daging. (B)

 

Latihan 1.

  1. Manakah yang merupakan pernyataan, bukan pernyataan dan kalimat terbuka ?
    1. Bilangan asli terkecil adalah 0.
    2. Salatiga adalah ibukota Provinsi Jawa Tengah.
    3. Desaku bersih dan rapi.
    4. 3 – 2x = 5.
    5. Terima kasih anda sopan di ruang ini.
    6. Hari ini ada upacara bendera.
    7. Tentukan nilai kebenaran
      1. Gunung Krakatu berada di Jawa Timur.
      2. PresidenRIke-2 adalah Soeharto.
      3. Tana Toraja berada di Sulawesi Selatan.
      4. AC Milan pernah menjadi juara Liga Champion.
      5. 36 adalah bilangan berpangkat 3.
      6. 22 + 52 = 72.
      7. Log 81 = 4.
      8. Jumlah sudut suatu segitiga adalah 1800.
      9. Tentukan penyelesaian dari kalimat terbuka berikut :
        1. 5x + 2 = 27.
        2. x2 – 9 = 0
        3. 32x =
        4. log x = -1.
        5. Tentukan negasi dari pernyataan berikut :
          1. Matahari terbenam di sebelah barat.
          2. Air laut rasanya asin.
          3. 2 adalah bilangan prima genap.
          4. 4 adalah merupakan salah satu akar dari Persamaan Kuadrat 2x2 – 5x – 12 = 0.
          5. Tentukan ingkaran dari pernyuataan-pernyataan berikut :
            1. p : Kereta api adalah alat transportasi udara.
            2. q : Ayam adalah binatang berkaki empat.
            3. r : Jumlah 2 buah bilangan ganjil adalah bilangan ganjil juga.
            4. s : x = 5 adalah penyelesaian dari 5x – 3 = 17.

 

 

  1. B.     Pernyataan Majemuk.

Kalimat yang diperoleh dengan menggabungkan dua buah pernyataan atau lebih disebut Kalimat Majemuk.  Dua pernyataan tersebut digabungkan dengan kata sambung : dan, tetapi, atau, jika … maka …, … jika dan hanya jika ….

Dalam Matematika ada  4 macam pernyatan majemuk, yaitu :

  1. Konjungsi.
  2. Disjungsi
  3. Implikasi
  4. Bi-Implikasi

 

 

  1. 1.    Konjugsi.

Konjungsi adalah dua pernyataan yang dihubungkan dengan kata “dan”,”tetapi”,”sedangkan”. Konjungsi ditulis dengan lambang  “p q “ dibaca p konjungsi g atau p dan q.

Perhatikan cerita berikut :

Ayah meminta tolong pada Della : “Della ,tolong ambilkan buku dan pulpen”.

  1. Della datang membawa buku dan pulpen.
  2. Della datang membawa buku saja.
  3. Della datang membawa pensil saja.
  4. Della datang tidak membawa apa-apa.

Dari cerita diatas , pernyataanya adalah

p : Ambilkan buku

q : Ambilkan pulpen

p q : Ambilkan buku dan pulpen

Della dinyatakan benar bila membawa buku dan pensil (A) sehingga dapat dibuat table kebenaran sebagai berikut :

p

q

p q

B

B

B

B

S

S

S

B

S

S

S

S

 

Contoh :

  1. p : Ada 365 hari dalam 1 tahun. (B)

q :Ada30 hari pada bulan September. (B)

p q :  Ada 365 hari dalam 1 tahun dan ada 30 hari pada bulan September.  (B)

 

  1. p : 4 adalah factor dari 12. (B)

q : 4 adalah factor dari 12 (S)

p q : 4 adalah factor dari 12 dan 4 adalah factor dari 12.  (S)

 

  1. p : Semua binatang berkaki empat. (S)

q : Ayam binatang berkaki dua. (B)

p q : Semua binatang berkaki empat dan ayam binatang berkaki dua.  (S)

 

  1. p : 2 + 3 = 6. (S)

q : 6 adalah bilangan prima. (S)

pq : 2 + 3 = 6 dan 6 adalah bilangan prima. (S)

 

Latihan 2.

  1. Tentukan komponen dari pernyataan-pernyataan berikut :
  1. Bunga melati berwarna putih dan berbau harum.
  2. Anita dan Anisa adalah siswa kelas X.
  3. Anak itu cerdas tetapi pemalas.
  4. 4 + 3 = 7 dan 4 X 3 = 12.
  1. Diketahui : p : Hari ini ulangan Matematika.

q  : Aku belum belajar.

Tulislah pernyataan-pernyataan yang dilambangkan dengan :

  1. p q                     d. –(p q)
  2. p -q                    e.-(p -q)
  3. -p -q                   f. –(-p -q)
  4. Faktor dari 12 adalah 3 dan 4.
  5. Bandung dan Semarang berada di Jawa Tengah.
  6. Luas segitiga adalah .a t dan diagonal-diagonal belah ketupat saling tegak lurus.
  7. Bilangan yang habis dibagi 3 adalah 15 dan 49.
  1. Tentukan nilai kebenaran :
  1. Diketahui ; p : pernyataan bernilai benar.

q : pernyataan bernilai salah.

Tentukan nilai kebenaran :

  1. p q                           c. –(p -q)
  2. -p q                          d. –(-p -q)

 

  1. Buatlah table kebenaran :
    1. (p  q)  r                 c. p  (-q  r)
    2. (-p  q)  -r              d. (p  -q) -r

 

  1. 2.    Disjungsi

Disjungsi adalah dua pernyataan yang dihubungkan dengan kata  “atau “. Disjungsi ditulis dengan lambang  “p  q” dibaca p disjungsi q atau p atau q.

Perhatikan contoh berikut :

“ Isilah biodata dengan menggunakan pulpen warna hitam atau biru“

  1. Agung mengisi biodata dengan pulpen warna hitam dan biru bergantian.
  2. Ema mengisi biodata dengan pulpen warna hitam.
  3. Prast mengisi biodata dengan pulpen warna biru.
  4. Elsa mengisi biodata dengan pulpen warna merah.

Dari cerita diatas, pernyataannya adalah :

p : Mengisi biodata dengan pulpen warna hitam.

q : Mengisi biodata dengan pulpen warna biru.

Apa yang dilakukan Agung, Ema dan Prast adalah bernilai benar sedangkan Elsa bernilai salah, sehingga dapat dibuat table kebenaran:

 

p

q

p  q

B

B

B

B

S

B

S

B

B

S

S

S

 

 

Contoh :

  1. p : 5 + 3 = 8. (B)

q : 8 adalah bilangan genap. (B)

p q : 5 + 3 = 8 atau 8 adalah bilangan genap. (B)

 

  1. p : 5 adalah bilangan prima (B)

q : 5 adalah factor dari 24. (S)

pq : 5 adalah bilangan prima atau 5 adalah factor dari 24 (B)

 

  1. p : 2 X 3 = 5 (S)

q : 2 X 3 = 5 (B)

p q : 2 X 3 = 5  atau 2 X 3 = 5  (B)

 

  1. p : 4 X 3  12. (S)

q : 12 adalah bilanga prima (S)

p q : 4 X 3  12 atau 12 adalah bilanga prima.  (S)

 

Pada rangkaian arus listrik sederhana terdapat 2 rangkaian yaitu rangkaian seri dan rangkaian paralel.

Pada rangkaian seri arus dari A menuju B dihubungkan oleh 2 buah saklar p dan q, seperti gambar berikut :

A                                                   B

p                q

Jika saklar p dihidupkan dan saklar q dihidupkan maka arus dari A sampai ke B.

Jika saklar p dihidupkan dan saklar q tidak dihidupkan maka arus dari A tidak sampai ke B.

Jika saklar p tidak dihidupkan dan saklar q dihidupkan maka arus dari A tidak sampai ke B.

Jika saklar p tidak dihidupkan dan saklar q tidak dihidupkan maka arus dari A tidak sampai ke B.

Dengan demikian rangkain seri identik dengan konjungsi (p q ).

Pada rangkaian paralel arus dari A menuju B dihubungkan oleh 2 buah saklar p dan q, seperti gambar berikut :

p

A                                             B

 

 

q

Jika saklar p dihidupkan dan saklar q dihidupkan maka arus dari A sampai ke B.

Jika saklar p dihidupkan dan saklar q tidak dihidupkan maka arus dari A sampai ke B.

Jika saklar p tidak dihidupkan dan saklar q dihidupkan maka arus dari A sampai ke B.

Jika saklar p tidak dihidupkan dan saklar q tidak dihidupkan maka arus dari A tidak sampai ke B.

Dengan demikian rangkain paralel identik dengan disjungsi (pq).

 

Latihan 3.

  1. Tentukan komponen dari pernyataan-pernyatan berikut :
    1. 4 adalah bilangan kuadrat atau bilangan genap.
    2. Bengawan Solo di Jawa Tengah atau Gunung Bromo di Jawa Timur.
    3. 2(x + 3) = 2x + 6 atau x2 – 4 = (x – 2)(x + 2).
    4. Diagonal-diagonal persegi panjang sama panjang atau saling tegak lurus.
  2. Diketahui p : Saya ingin memesan teh.

q  : Saya ingin memesan ice cream.

Tulislah pernyatan diatas yang dilambangkan dengan :

  1. p  q                          c.  -p  -q
  2. -p  q                         d. –(p  q)
  • Tentukan nilai kebenaran :
    1. Candi Prambanan terletak di Jawa Tengah atau DIY.
    2. Kepala Negara RI adalah Presiden atau Perdana Menteri.
    3. 5 adalah bilangan bulat atau bilangan ganjil.
    4. 4 + 3  6
  • Buatlah table kebenaran
    1. (p  q)  r
    2. p  (q  r)
    3. (-p  q)  -r
    4. p  (-q  -r)
  • Tulislah pernyataan majemuk dari lambang berikut :
  • a.

    A        p           q           B

     

     

    b.                    p

    A                             B

    q

    c.                                  q

    A                                                B

    p

    r

    d.

    p         q

    A                                            s            B

     

     

    r

     

    1. 3.    Implikasi.      

    Jika dua pernyataan p dan q digabungkan dengan kata “jika p maka q”  pernyataan tersebut disebut implikasi yang dilambangkan dengan  p q, implikasi tersebut dapat dibaca :

    1. Jika p maka q.
    2. p berimplikasi q.
    3. q hanya jika p.
    4. p syarat cukup untuk q.

    Pada implikasi “p q “

    p disebut Anteseden (hipotesis)

    q disebut Konsekuen (kesimpulan)

    Tabel kebenaran Implikasi :

    p

    q

    p q

    B

    B

    B

    B

    S

    S

    S

    B

    B

    S

    S

    B

     

    Contoh :

    1. p : 2 + 4 = 6  (B)

    q : 6 adalah bilangan genap  (B)

    p q : Jika 2 + 4 = 6   maka 6 adalah bilangan genap.  (B)

     

    1. p : 5 < 7 (B)

    q : 7 adalah bilangan genap. (S)

    p q : Jika 5 < 7 maka 7 adalah bilangan genap.  (S)

     

    1. p : 4 + 3 = 12 (S)

    q : 4 adalah factor dari 12. (B)

    p q : Jika 4 + 3 = 12  maka 4 adalah factor dari 12. (B)

     

    1. p : 3 – 4 = 1. (S)

    q : 3 – 1 = 4. (S)

    p q : Jika 3 – 4 = 1 maka 3 – 1 = 4.  (B)

     

    Tautologi dan Kontradiksi

    Perhatikan table kebenaran berikut :

    p

    q

    p q

    (p q) p

    ((p q) p q

    B

    B

    B

    B

    B

    B

    S

    S

    S

    B

    S

    B

    B

    S

    B

    S

    S

    B

    B

    B

    Nilai kebenaran pada pernyataan majemuk diatas adalah semua benar (B) hal seperti itu dinamakan Tautologi.

    Sedangkan pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya semua S dinamakan Kontradiksi.

    Perhatikan table kebenaran berikut ;

    p

    q

    p  q

    -(p  q)

    -(p  q)  p

    B

    B

    B

    S

    S

    B

    S

    B

    S

    S

    S

    B

    B

    S

    S

    S

    S

    S

    B

    S

     

     

    Latihan 4.

    1. Tuliskan implikasi dari pernyataan berikut :
    1. p :IndonesiaNegara Agraris.

    q :IndonesiaSwasembada pangan

    1. p : ABC adalah segitiga sama sisi.

    q : ABC adalah segitiga sama kaki.

    1. Tentukan nilai kebenaran :
      1. Jika 3 adalah bilangan prima maka 3 adalah bilangan cacah.
      2. 2 X 2 = 2 + 2  operasi perkalian sama dengan operasi penjumlahan.
      3. 3 + 4 = 7    3 +  4 = 7
      4. Jika x2 = 4 maka x = 2.
    2. Buatlah table kebenaran  :
      1. p(qr)
      2. p (qr)
      3. (p q) (qr)
      4. (p q) (qr)
    3. Selidiki pernyataan berikut manakah yang merupakan Tautology atau Kontradiksi.
      1. ((p q)  -q)  - p
      2. (p  (p  q))   p
    4. Tentukan nilai x agar implkasi berikut bernilai benar (B)  :
      1. Jika 2x = 6 maka 3 adalah bilangan  ganjil.
      2. Jika x > 0 maka log x = 3.
      3. Jika x2 = 9 maka 9 adalah bilangan prima.
      4. Jika 5 + 3 =   8  maka 5.x = 25.

     

    1. 4.    Bi Implikasi

    Jika dua pernyataan p dan q digabungkan dengan kata hubung “ … jika dan hanya jika …” pernyataan majemuk tersebut disebut Bi Implikasi dan dilambangkan  “p q “

    Tabel kebenaran Bi Implikasi.

    p

    q

    p  q

    B

    B

    B

    B

    S

    S

    S

    B

    S

    S

    S

    B

     

    Contoh :

    1. p : 8 X 2 = 16. (B)

    q : 16 : 2 = 8.  (B)

    p q : 8 X 2 = 16 jika dan hanya jika 16 : 2 = 8  (B)

    1. p : Nilai ulangan saya bagus. (B)

    q : Saya menjawab soal dengan benar. (B)

    p q : Nilai ulangan saya bagus jika dan hanya jika Saya    menjawab soal dengan benar   (B)

    1. p : 23 = 8. (B)

    q : log 8 = 3. (B)

    p q : 23 = 8 jika dan hanya jika log 8 = 3 (B)

     

     

    Implikasi logis dan Bi Implikasi logis.

    Perhatikan table kebenaran berikut :

    p

    q

    pq

    pq  p

    B

    B

    B

    B

    B

    S

    S

    B

    S

    B

    S

    B

    S

    S

    S

    B

    Pernyataan majemuk pq  p   bernilai Benar semua, Implikasi yang semua nilai kebenaranya B disebut Implikasi Logis.

    Perhatikan table berikut :

    p

    q

    ( pq)

    p ( pq)

    (p ( pq))p

    B

    B

    B

    B

    B

    B

    S

    S

    B

    B

    S

    B

    S

    S

    B

    S

    S

    S

    S

    B

    Pernyataan majemuk  (p ( pq))p bernilai Benar semua, Bi Implikasi yang semua nilai kebenarannya B disebut  Bi Implikasi Logis.

     

    Latihan 5.

    1. Diketahui p : Benar dan q : Salah, tentukan nilai kebenaran pernyataan berikut :

    a.( p q ) -p

    b.(p-q)  p

    1. Buatlah table kebenaran :

    a.(( pq)  p) q

    b. (p (pq))  p

    1. Buatlah table kebenaran :

    a.(pq) (q  p)

    b. (pq) -p

     

     

    1. Selidiki pernyataan majemuk berikut :
    1. ((pq)  p) q
    2. (pq) (-pq)

     

    1. Bentuk Ekuivalen Pernyataan Majemuk.

    Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen jika kedua pernyataan majemuk  tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama. Ekuivalensi dari dua pernyataan majemuk dilambangkan dengan “”.

    Perhatikan table kebenaran berikut :

    p

    q

    -p

    -p  q

    p q

    B

    B

    S

    B

    B

    B

    S

    S

    S

    S

    S

    B

    B

    B

    B

    S

    S

    B

    B

    B

    Dari table diatas terlihat nilai kebenaran kolom ke-4 dan kolom ke-5 sama.

    Jadi pernyataan majemuk -p  q   ekuivalen dengan p q . Atau bisa juga ditulis  -p  q    p q

     

    Latihan 6.

    1. Selidiki pernyataan majemuk berikut apakah ekuivalen atau tidak.
      1. – (p  q) dan (-p  -q)
      2. – (p  q) dan (-p  -q)
      3. p q dan –q  -p
      4. q  p dan –p  -q
    2. Tunjukkan dengan table kebenaran :
      1. (p  q)  (q  p)
      2. (p  q)  r    p (q  r )
    3. Dengan menggunakan table kebenaran tunjukkan bentuk ekuivalen :
      1. p q  (p q)  (q p)
      2. p q  (-p  q)  (q p)
    1. Negasi Pernyataan Majemuk.

    Menentukan negasi suatu pernyataan p dilakukan dengan menambahkan kata tidak / bukan  sehingga nilai kebenarannya berlawanan dengan pernyataan p. Bagaimana kalau negasi pada pernyataan majemuk ?

    Misalkan ada konjungsi sebagai berikut :

    “Seragam sekolah hari Senin adalah baju putih dan celana abu-abu”

    Dari konjungsi diatas  p : baju putih

    q : celana abu-abu

    Selanjutnya akan kita tentukan pernyataan yang merupakan negasi dari konjungsi diatas.

    -p : Seragam hari Senin adalah baju bukan putih.

    (Apakah pernyataan -p tersebut sudah mengingkari konjungsi diatas )

    Atau

    -q : Seragam hari Senin adalah celana bukan abu-abu.

    (Apakah pernyataan -q tersebut sudah mengingkari konjungsi diatas )

    Dari keterangan tersebut yang merupakan negasi dari konjungsi diatas adalah

    “Seragam hari Senin adalah baju bukan putih atau celana bukan abu-abu “ yang dilambangkan dengan :

    – (p  q)   -p  -q

     

    Selanjutnya perhatikan disjungsi berikut :

    “ Hari Minggu Aida akan pergi ke supermarket atau pergi ke kolam renang”

    Disjungsi diatas berarti Aida akan melakukan setidaknya satu dari kegiatan tersebut, yaitu pergi ke supermarket atau pergi ke kolam renang.

    p : pergi ke supermarket

    q : pergi ke kolam renang

    Negasi dari Disjungsi diatas kalau pada Hari Minggu Aida tidak melakukan kedua kegiatan tersebut yaitu : “ Aida tidak pergi ke supermarket dan tidak pergi ke kolam renang “, yang dilambangkan dengan :          – (p  q)   -p  -q

    1. Ingkaran Konjungsi :  – (p  q)   -p  -q
    2. Ingkaran Disjungsi  :  – (p  q)   -p  -q
    3. Ingkaran Implikasi :  – (p q)  p  -q
    4. Ingkaran Bi Implikasi :  -( pq)  (p -q)  ( q  -p)

    Contoh :

    1. Hari ini hujan dan udara dingin.

    Negasi : Hari ini tidak hujan atau udara tidak dingin.

    1. Shinta pergi ke sekolah atau pergi ke Jakarta.

    Negasi : Shinta  tidak pergi ke sekolah dan tidak pergi ke Jakarta.

    1. Jika saya rajin maka saya pintar.

    Negasi : Saya rajin dan saya tidak pintar.

    1. Ali mendapat gaji jika dan hanya jika Ali bekerja.

    Negasi : Ali mendapat gaji dan Ali tidak bekerja , atau

    Ali bekerja dan Ali tidak mendapat gaji.

     

    Latihan 7.

    1. Tunjukkan dengan table kebenaran :

    a.  – (p  q)   -p  -q

    b. – (p  q)   -p  -q

    c. – (p q)  p  -q

    d. -( pq)  (p -q)  ( q  -p)

    1. Tentukan negasi dari :
      1. Gadis itu cantik tetapi sering bolos pelajaran.
      2. Adasiswa yang tidak masuk sekolah dan ada siswa yang terlambat.
      3. Susan mau bermain basket atau bola volley.
      4. 12 adalah bilangan genap atau 12 kurang  dari 10.
      5. Tentukan ingkaran dari pernyatan berikut :
        1. Jika harga BBM naik maka ongkos angkutan naik.
        2. x = 3 jika dan hanya jika x2 = 16.
        3. Jika guru tidak masuk maka siswa senang.
        4. Jika pelajaran kosong maka ketua kelas atau wakil harus ke ruang guru.
    1. Konvers, Invers dan Kontraposisi.

    Dari suatu Implikasi p  q dapat dibentuk :

    1. Konvers, yaitu :  q  p
    2. Invers, yaitu :  -p -q
    3. Kontraposisi, yaitu : -q -p

    Tabel kebenaran :

    p

    q

    p  q

    q  p

    -p -q

    -q  -p

    B

    B

    B

    B

    B

    B

    B

    S

    S

    B

    B

    S

    S

    B

    B

    S

    S

    B

    S

    S

    B

    B

    B

    B

    *                 **                   **                   *

    Dari table diatas terlihat bahwa  :

    -          Nilai kebenaran Implikasi  =  nilai kebenaran Kontraposisi.

    -          Nilai kebenaran Konvers  =  nilai kebenaran Invers.

    Diketahui suatu Implikasi :

    Jika hujan deras maka halaman banjir.

    1. Konvers : Jika halaman banjir maka hujan deras.
    2. Invers : Jika hujan tidak deras maka halaman tidak banjir.
    3. Kontraposisi : Jika halaman tidak banjir maka hujan tidak deras.

     

    Latihan 8.

    1. Tentukan Konvers, Invers dan Kontraposisi
      1. Jika nilai ulangan bagus maka hatiku senang.
      2. Jika guru mengajar dengan baik maka semua siswa senang.
      3. Jika malam minggu maka ia akan datang mengunjungiku.
      4. Jika tidak ada api maka tidak ada asap.
    2. Tentukan Konvers, Invers dan Kontraposisi
      1. Jika AC tegak lurus BD maka ABCD adalah layang-layang.
      2. Jika 23 = 8 maka  log 8 = 3.
      3. Jika n bilangan ganjil maka 2n adalah bilangan genap.
      4. Jika persamaan kuadrat memiliki akar-akar sama maka nilai diskriminan = 0.
    3. Tentukan Konvers, Invers dan Kontraposisi

    a.  -p  -q

    b.   p  ( p  q)

    c.  ( p  q)  -q

    d.  ( p  -q)  r

     

    1. Pernyataan Berkuantor.

    Pernyataan berkuantor artinya pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas atau jumlah. Pernyataan berkuantor mengandung kata semua, setiap, tiap-tiap, ada, terdapat, beberapa dan sebagainya.

    Terdapat dua macam kuantor, yaitu :

    1. Kuantor Universal.

    Disebut juga kuantor umum, ditandai dengan kata : “semua, setiap, tiap-tiap”. Kuantor universal dilambangkan (x),p(x).

    Contoh :

    1. Semua siswa memakai seragam.
    2. Tiap-tiap kelas selalu menjaga kebersihan.
    3. Setiap manusia punya kesalahan.
    4. Setiap bilangan asli adalah bilangan cacah.
    5. (x), (xB  x0)
    1. Kuantor Eksistensial.

    Disebut juga Kuantor Khusus, ditandai dengan kata : “ Ada, terdapat, beberapa “.  Kuantor eksistensial dilambangkan (x), p(x)

    Contoh :

    1. Adasiswa yang tidak mengerjakan PR.
    2. Terdapat bilangan prima yang genap.
    3. Beberapa kelas sedang tidak belajar.
    4. (x),( xB  x+ 5x + 6 = 0)
    5. (x),( xR  x + 5 > 5)
    1. Ingkaran Kuantor Universal.
      p : Semua kucing berwarna putih.

    -p : Tidak benar bahwa semua kucing berwarna putih.

    -p :Adakucing yang tidak berwarna putih.

    Secara umum ingkaran dari semua adalah ada/beberapa, dan dilambangkan :

    - ( (x),p(x))  (x), -p(x)

    1. Ingkaran Kuantor Eksistensial.

    p :Adaperempuan yang menjadi presiden.

    -p : Tidak ada perempuan yang menjadi presiden.

    -p : Semua perempuan tidak menjadi presiden.

    Secara umum ingkaran dari Ada/beberapa adalah semua, dan dilambangkan :

    - ((x), p(x) )   (x),-p(x)

     

    Latihan 9.

    1. Tentukan jenis kuantor dari pernyataan berikut :
      1. Semua orang asing berkulit putih.
      2. Adaanak yang berani melawan orang tua.
      3. Setiap hari  matahari terbit di sebelah timur.
      4. Terdapat bilangan genap yang merupakan bilangan kuadrat.
      5. Tentukan nilai kebenaran :
        1. Semua Presiden RI mempunyai Wakil Presiden.
        2. Setiap makhluk hidup akan menemui ajal.
        3. Adabilangan cacah yang negative.
        4. Adamakhluk hidup pemakan daging.
        5. Tentukan ingkaran dari :
          1. Setiap orang kaya hidup bahagia.
          2. Setiap siswa menganggap matematika sulit.
          3. Adapersamaan kuadrat yang tidak memiliki akar-akar real.
          4. Setiap x bilangan real, x2 lebih dari sama dengan 0.
          5. Tentukan negasi dari :
            1. (x), (xA  x0)
            2. (x), (xC  x + 3 > 10 )
            3. (x),( xB  x+ 15x – 16 = 0)
            4. (x),( xR  x> 2x )

     

    1. Penarikan Kesimpulan

    Dalam logika matematika kesimpulan ditarik dari beberapa pernyataan yang diasumsikan (premis). Ada beberapa prinsip dalam penarikan  kesimpulan yaitu:

    1. Prinsip Modus Ponens.

    Premis 1          : p  q

    Premis 2          : p

    Konklusi          :          q

    Contoh :

    Premis 1 : Jika nanti sore tidak hujan maka Ardi pergi ke rumah  Ika.

    Premis 2 : Sore itu tidak hujan.

     

    Konklusi : Ardi  pergi ke rumah Ika.

     

    1. Prinsip Modus Tolens.

    Premis 1          : p  q

    Premis 2          :         -q

    Konklusi          : -p

    Contoh :

    Premis 1          : Jika saya lulus maka saya pergi ke Bali.

    Premis 2          : Saya tidak pergi ke Bali.

     

     

    Konklusi          : Saya tidak lulus.

     

    1. Prinsip Silogisme.

    Premis 1          : p  q

    Premis 2          : q r

    Konklusi          : p  r

    Contoh :

    Premis 1          : Jika saya belajar maka nilaiku bagus.

    Premis 2          : Jika nilaiku bagus maka saya naik kelas.

     

     

    Konklusi          : Jika saya belajar maka saya naik kelas.

     

    Latihan 10.

    1. Tuliskan kesimpulan dari premis-premis berikut :
      1. p1 : Jika Novita berangkat sekolah maka ia memakai seragam.

    p2 : Novita tidak memakai seragam.

    1. p1 : Jika Anisa sakit maka ia pergi ke dokter.

    p2 : Anisa tidak pergi ke dokter.

    1. p1 : Jika 2x = 8 maka x = 4.

    p2 : Jika x = 4 maka x2 = 16.

    1. p1 : Jika a = b maka a + 2 = b + 2.

    p2 : a  +  2  b + 2.

    1. Selidiki sah atau tidak penarikan kesimpulan berikut dengan menggunakan table kebenaran :
      1. p1 :  p  q

    p2 : p

    :           q

     

    1. p1 :  p  q

    p2 :           -q

    :  -p

     

    1. p1 :  p  q

    p2 :  q  r

    :  p  r

     

    1. p1 :  p -q

    p2 :          -q

    :  p

     

    1. p1 :  p -q

    p2 :           -q

    :  -p

     

     

    1. p1 :  -p  q

    p2 :  -p

    :  q

     

    1. Tulislah kesimpulan yang sah dari premis-premis berikut :
      1. p : p -q

    p: -q

    : ……..

    1. p : -q -p

    p:  q  r

    : ……..

    1. p :  p  q

    p:  q  -r

    : ……..

    1. p :  -p  q

    p:  q  -r

    p :  p

    : ……..

     

    1. Tulislah kesimpulan yang sah dari premis-premis berikut :
      1. p : Anton anak yang tidak rajin belajar atau Anton anak pintar.

    p: Anton anak yang tidak pintar

    :  ……………………………………………..

     

    1. p : Gadhis lulus ujian atau Gadhis melanjutkan sekolah.

    p: Jika Gadhis melanjtukan sekolah maka Gadhis rajin belajar.

    :  ……………………………………………..

     

    1. p :  Jika saya tidak masuk maka Kartika sedih

    p:  Jika Kartika sedih maka ia malas belajar

    p :  Jika Kartika malas belajar maka Pak guru marah.

    :  ……………………………………………….

     

    1. p :  Jika semua masyarakat resah maka harga BBM naik

    p:  Harga BBM tidak naik atau Harga sembako tidak naik

    p :  Harga sembako naik.

    :  ……………………………………………….

     

    1. Penyusunan Bukti.

    Adabeberapa pembuktian dalam matematika, yaitu :

     

    1. Bukti Langsung.

    Contoh      :

    Buktikan bahwa ada bulan yang jumlah harinya 31 hari.

    Bukti         : Bulan Januari terdapat 31 hari.

    Jadi            :Adabulan yang jumlah harinya 31 hari.

     

    1. Bukti tidak langsung.

    Contoh      :

    Buktikan bahwa setiap x bilangan Asli, x + 2  3.

    Bukti         :

    Misalkan ada x bilangan Asli , x + 2 < 3

    x     <   3 – 2

    x     <   1

    Dari x < 1 adalah salah karena tidak ada bilangan Asli  yang kurang dari 1.

    Jadi            : Setiap x bilangan Asli, x + 2  3.

     

    1. Induksi Matematika.

    Langkah-langkah dalam melakukan pembuktian dengan Induksi Matematika :

    1. Buktikan rumus berlaku untuk n = 1.
    2. Misalkan rumus berlaku untuk n = k,

    Buktikan rumus berlaku untuk n = k + 1.

    Contoh      :

    Buktikan bahwa  1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n – 1) = n2 untuk n bilangan Asli.

    Bukti         :

    1. n = 1,           2n – 1 = n2

    2.1 – 1 = 12

    1 = 1  (Rumus berlaku untuk n = 1)

    2. n = k,        1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k- 1) = k2

    n = k + 1,  1 + 3 + 5 + 7 + … + (2(k + 1) – 1) = (k + 1)2

    1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k + 2 – 1) = (k + 1)2

                                     1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k + 1) = (k + 1)2

    1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k – 1) + (2k + 1) = (k + 1)2

    k2            + (2k + 1) = (k + 1)2

    k2 + 2k + 1  =  (k + 1)2

    (k + 1)2 = (k + 1)2

    Terbukti.

     

     

     

     

     

    Latihan 11.

    Buktikan dengan menggunakan induksi matematika.
    1. 1 + 2 + 3 + 4 + … + n =  n (n +  1).

    2. 1 + 9 + 25­­­ + 49 + … + (2n – 1)2 =   n (2n – 1)(2n + 1).

    3.  =

    4. Buktikan bahwa :

    Bentuk n (n + 1)(n + 2) habis dibagi 6 untuk setiap n bilangan Asli.

     

    LATIHAN ULANGAN  :

    1. Buatlah 3 buah pernyataan.
    2. Buatlah 3 buah kalimat bukan pernyataan.
    3. Tentukan negasi dari kalimat berikut : Semua bilangan prima yang lebih dari 2 adalah bilangan ganjil.
    4. Gambarkan rangkaian arus berikut :
    1. ( p  q)   (( r  q)  t)
    2. (  p q)   (( r  q)  t).
    3. p q
    4. -p -q
    5. (p q)  (  p q)
    6. ( p  q)  (-p -q)
    1. Diketahui p pernyataan bernilai Salah dan q pernyataan bernilai Benar, tentukan nilai kebenaran :
    1. Selidiki dengan menggunakan table kebenaran pernyataan berikut tautology, kontradiksi  atau kontingensi

    (  -p q)  (p q)

    1.  Tentukan invers, konvers, kontraposisi dan negasi adri pernyataan berikut :

    “Jika guru mengajar dengan baik maka siswa senang”

    1. Tentukan pernyataan yang senilai dengan “Jika Rina lulus ujian maka Rina akan segera menikah “
    2. Tulislah kesimpulan dari premis-premis berikut :

    P1 : Jika guru senang mengajar maka nilai matematika bagus

    P2 : Siswa tidak menyukai matematika atau guru senang mengajar.

    P3 : Siswa menyukai matematika.

    1. Buktikan bahwa segitiga siku-siku sama sisi tidak mungkin ada.
    About these ads

    2 responses to “Logika Matematika

    1. Ping-balik: Menyatakan nilai sebuah kebenaran dengan sebuah tabel kebenaran | restawurii

    2. Ping-balik: untitled » Blog Archive » bentuk pernyataan

    Tinggalkan Balasan

    Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

    WordPress.com Logo

    You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

    Twitter picture

    You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

    Facebook photo

    You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

    Google+ photo

    You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

    Connecting to %s